Teoremas de Proporcionalidad
El concepto de proporcionalidad es equivalente al de semejanza cuando se comparan dos triángulos semejantes. De hecho las propiedades de la proporcionalidad (reflexividad, simetría y transitividad) son las mismas que las de la semejanza.
9.6: Teorema fundamental de la proporcionalidad:
Si una recta paralela a un lado de un triangulo interseca a los otros dos lados, entonces divide a éstos proporcionalmente. Y su recíproca establecido en el teorema 9.7: si una recta interseca a dos lados de un triangulo y los divide proporcionalmente, entonces la recta es paralela al tercer lado.
Media geométrica: parte esencial de la proporcionalidad y de la semejanza de triángulos.
Sólo es relevante la media geométrica si todos los números son positivos. Si uno de ellos es 0, entonces el resultado es 0. Si hay un número negativo (o una cantidad impar de ellos) entonces la media geométrica es, o bien negativa o bien inexistente en los números reales.
Teorema 9.10: En un triangulo rectángulo, la longitud de la altura a la hipotenusa es la media geométrica entre las longitudes de los dos segmentos de la hipotenusa.
Teorema 9.11: Dados un triangulo rectángulo y la altura de la hipotenusa, cada cateto es la media geométrica entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del segmento de la hipotenusa adyacente al cateto.
Si una recta paralela al lado BC del triángulo ABC corta en B′ a AB y en C′ a AC ), entonces
ABAB′=ACAC′=BCB′C′
Este es el Teorema de Tales para triángulos del cual hemos hablado ya en MaTeTaM. En esta oportunidad comentaré el teorema particularizado para triángulos rectángulos y lo demostraré con el método de áreas.
Presentaré primero un problema de ENLACE 2008
Solución
Razonando proporcionalmente es fácil ver que la alturah del triángulo sombreado es de 2 unidades (3/9=h/6). De aquí que el área buscada sea de 3 unidades cuadradas.
(En otras palabras, el razonamiento proporcional sería así: si en 9 sube 6 entonces en 3 sube 2 (pues cada 3 sube 2). Elemental ¿no es cierto? Pues sí pero...)
Según creo, es dudoso que el razonamiento proporcional sea tan natural como se cree. Lo dudo porque en una sesión de entrenamiento en resolución de problemas, uno de mis alumnos "resolvió" el problema diciendo que la altura es 3 ("porque la linea inclinada pasa por la mitad") y por tanto la respuesta es 4.5 unidades cuadradas. Y cuando la interrogué sobre cómo sabía que pasaba por la mitad de dijo: "ese problema lo resolvió el profe en el pizarrón y así le hizo". (Ese dato adicional explicaba la seguridad con que mi alumna procedió.)
Este problema de ENLACE se puede considerar una variante del que
resolvió Tales de Mileto. Según la leyenda, Tales calculó la altura de
la pirámide de Keops sin realmente medirla. Y se puede conjeturar que
calculó la altura de la pirámide gracias a un teorema que ya había
demostrado en su laboratorio hogareño.
Vamos a calcular el área del triángulo ABC de dos formas (lo cual establecerá una ecuación). El doble del área de ABC es AB⋅BC . Pero también es igual a la suma de las áreas (duplicadas) del triángulo AED y el trapecio BCDE . Por tanto
AB⋅BC=AE⋅ED+(DE+BC)⋅EB
(AB−EB)⋅BC=(AE+EB)⋅ED
Y se tiene el resultado que usó Tales para medir indirectamente la altura de la pirámide:
ABAE=BCED
Los saluda
jmd
PD: Hay varias versiones sobre cómo calculó Tales la altura. Una de ellas dice que Tales se paró en el puntoE de tal manera que su sombra AE terminaba exactamente en A , justamente donde terminaba la sombra AB de la pirámide BC . Y aplicó el teorema. (Queda la duda operativa de cómo le hizo para medir la sombra desde A al centro B
de la pirámide. Pero bueno, en principio, el problema quedaba resuelto
--la medida de su sombra y de su altura son factibles de lograr con
cinta.)
PD1: Otra versión de la leyenda cuenta que Tales esperó a que su sombra fuese igual a su altura y, de acuerdo a su teorema, la altura de la pirámide mediría lo mismo que su sombra. Mucho más fácil. Pero de cualquier manera queda la incógnita de cómo midió la longitud de la sombra de la pirámide.
PD2: Una buena actividad didáctica en la línea de las reformas educativas es poner a los alumnos a calcular (con Tales) la altura de la torre X de la localidad y subir a Youtube un video de las acciones que realizaron. (Se van a tardar posiblemente una semana pero...)
PD3: Un conocimiento se convierte en natural (para tí) cuando ya lo has aplicado muchas veces. Antes de esas múltiples prácticas es totalmente alienígena.
Si una recta paralela a un lado de un triángulo intersecta los otros dos lados del triángulo, entonces la recta divide esos dos lados proporcionalmente.
Si
Las rectas
son paralelas.
Por lo tanto, por el teorema de la proporcionalidad del triángulo,
Sustituya los valores y resuelva para x.
Multiplique cruzado.
6x = 18
Divida ambos lados entre 6.
El valor de x es 3.
9.6: Teorema fundamental de la proporcionalidad:
Si una recta paralela a un lado de un triangulo interseca a los otros dos lados, entonces divide a éstos proporcionalmente. Y su recíproca establecido en el teorema 9.7: si una recta interseca a dos lados de un triangulo y los divide proporcionalmente, entonces la recta es paralela al tercer lado.
Media geométrica: parte esencial de la proporcionalidad y de la semejanza de triángulos.
Sólo es relevante la media geométrica si todos los números son positivos. Si uno de ellos es 0, entonces el resultado es 0. Si hay un número negativo (o una cantidad impar de ellos) entonces la media geométrica es, o bien negativa o bien inexistente en los números reales.
Teorema 9.10: En un triangulo rectángulo, la longitud de la altura a la hipotenusa es la media geométrica entre las longitudes de los dos segmentos de la hipotenusa.
Teorema 9.11: Dados un triangulo rectángulo y la altura de la hipotenusa, cada cateto es la media geométrica entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del segmento de la hipotenusa adyacente al cateto.
Teorema fundamental de la proporcionalidad (Tales)
Enviado por jmd el 12 de Septiembre de 2013 - 07:35.
Si una recta paralela al lado Tales para triángulo rectángulo
Para demostrar el teorema de Tales (el que está en la base del razonamiento proporcional más básico) se puede utilizar el método de áreas. Ya en otra ocasión hemos presentado este método, pero puede que este post redundante sea de alguna utilidad para los novicios en matemáticas de concurso --dado que presenta al mismo tiempo la lógica del método de áreas con un problema elemental.Presentaré primero un problema de ENLACE 2008
Dos cuadrados de lados 3 y 6 se yuxtaponen formando un escalón. Se traza el segmento que une la esquina inferior izquierda del cuadrado menor con la esquina superior derecha del cuadrado mayor como se muestra en la figura. Calcular el área del triángulo sombreado.
Razonando proporcionalmente es fácil ver que la altura
(En otras palabras, el razonamiento proporcional sería así: si en 9 sube 6 entonces en 3 sube 2 (pues cada 3 sube 2). Elemental ¿no es cierto? Pues sí pero...)
Según creo, es dudoso que el razonamiento proporcional sea tan natural como se cree. Lo dudo porque en una sesión de entrenamiento en resolución de problemas, uno de mis alumnos "resolvió" el problema diciendo que la altura es 3 ("porque la linea inclinada pasa por la mitad") y por tanto la respuesta es 4.5 unidades cuadradas. Y cuando la interrogué sobre cómo sabía que pasaba por la mitad de dijo: "ese problema lo resolvió el profe en el pizarrón y así le hizo". (Ese dato adicional explicaba la seguridad con que mi alumna procedió.)
Para evitar el razonamiento proporcional el problema se puede resolver
calculando el área del triángulo grande de dos formas: con la fórmula
directa y como la suma de las áreas del triángulo sombreado y el
trapecio. De esta manera (y considerando el doble de las áreas) se
tendría la ecuación
9⋅6=3h+(h+6)6
Y se obtiene h=2 . De ahí el resultado.
Particularización al triángulo rectángulo
Una recta paralela al catetoDemostración (por el método de áreas)BC del triánguloABC rectángulo enB corta a la hipotenusa enD y al otro cateto enE . Demostrar que
ABAE=BCDE
jmd
PD: Hay varias versiones sobre cómo calculó Tales la altura. Una de ellas dice que Tales se paró en el punto
PD1: Otra versión de la leyenda cuenta que Tales esperó a que su sombra fuese igual a su altura y, de acuerdo a su teorema, la altura de la pirámide mediría lo mismo que su sombra. Mucho más fácil. Pero de cualquier manera queda la incógnita de cómo midió la longitud de la sombra de la pirámide.
PD2: Una buena actividad didáctica en la línea de las reformas educativas es poner a los alumnos a calcular (con Tales) la altura de la torre X de la localidad y subir a Youtube un video de las acciones que realizaron. (Se van a tardar posiblemente una semana pero...)
PD3: Un conocimiento se convierte en natural (para tí) cuando ya lo has aplicado muchas veces. Antes de esas múltiples prácticas es totalmente alienígena.
Teoerema de proporcionalidad del triángulo
Teoerema de proporcionalidad del triánguloSi una recta paralela a un lado de un triángulo intersecta los otros dos lados del triángulo, entonces la recta divide esos dos lados proporcionalmente.
Si
Ejemplo :
Encuentre el valor de x.Las rectas
son paralelas.Por lo tanto, por el teorema de la proporcionalidad del triángulo,
Sustituya los valores y resuelva para x.
Multiplique cruzado.
6x = 18
Divida ambos lados entre 6.
El valor de x es 3.
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